三角形ABCの線分ADの長さを求める例題

こんな問題は、ドラフターで図面を描いた経験がある昔人間なら、フリーハンドでマンガ絵を
描きます。
そして、三角形の面積なら∠Ａである120°を二等分して60°と60°にする記述で、ピ～ンと
きて、直角三角形30°＆60°は1：2：√3の辺長さ構成になるで計算すると考えます。
すると、△ABDの面積 ＋ △ADCの面積 ＝ △ABCの面積計算に関しては、
先ず、△ABDの面積は、点BからADへ垂線を下ろし交わった点までの長さが“高さ”となり、
その高さは、1：2：√3を利用して、2：√3＝4（AB）：2√3（高さ）となり、底辺×高さ÷2
がAD×2√3×1/2となります。
次に、△ADCの面積は、点CからADのD側に延長した線へ垂線を下ろし交わった点までの長さが
“高さ”となり、その高さは、1：2：√3を利用して、2：√3＝6（AC）：3√3（高さ）となり、
底辺×高さ÷2がAD×3√3×1/2となります。
最後に、△ABCの面積は、点BからACのA側に延長した線へ垂線を下ろし交わった点までの長さが
“高さ”となり、その高さは、1：2：√3を利用して、2：√3＝4（AB）：2√3（高さ）となり、
底辺×高さ÷2がAC×2√3×1/2となり、AC＝6なので6×2√3×1/2となります。
以上を纏めると、、△ABDの面積 ＋ △ADCの面積 ＝ △ABCの面積計算は、
AD×2√3×1/2 ＋ AD×3√3×1/2 ＝ 6×2√3×1/2で、今一度マンガ絵を見ると
△ABD面積の2√3は4（AB）×sin60°で、△ADC面積の3√3は6（AC）×sin60°で、△ABC面積は
4（AB）×sin60°です。（小生は、マンガ絵から△ABC面積の高さはAC×sin60°としますが、
例題は4（AB）×sin120°としているのですね。でも、sin60°＝sin120°です）
因って、
AD×（4×sin60°）×1/2 ＋ AD×（6×sin60°）×1/2 ＝ 6×（4×sin60°）×1/2は、
1/2×sin60°×（4×AD＋6×AD）＝ 1/2×sin60°×4×6となり、
1/2×sin60°×（4×AD＋6×AD）÷（1/2×sin60°）＝ 1/2×sin60°×4×6÷（1/2×sin60°）
と処理して、4×AD＋6×AD＝4×6の式が成立します。

やたらsinやcos、tanの三角関数を使用して計算すると、計算ミスやtanを使用する処を
sinを使用する使用ミスをします。
設計や製図を志す方は、やはりマンガ絵を描く習慣を身に付けた方が、ミスが減ります。
また、客先打ち合わせ時等のスケッチが上手になります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　A
　　　　　　　　　　　　　　　　　･
　　　　　　　　　　　　　　 ･　　 　 ･
　　　　　　　　　　 　 ･　　　　　 　　･
　　　　　　　　 　 ･　　　　　　　　　　 　　･
　　　　　　 　B ･　　　　　　　　　　　　 　 　 　･
　　　　　　　　　　 　 　　　　D ･　　　　　　　　 　･
　　　　　　　　　　 　 　　　　　 　　　　　　　　　 　　･ C
　　　　･･･････が垂線　　　　　↓
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　 ･
　　　　　　　　　　 　 ･ A
　　　　　　　　 　 ･　 　　･
　　　　　　　　　 　 　　 ･　　 　 ･
　　　　　　　 　　･ 　 ･　　　　　 　　･
　　　　　　　　 ･ ･　　　　　　　　　　 　　･
　　　　　　 　B ･･････････････････ 　　　 　 　 　･
　　　　　　　　　　 　 　　　　D ･　　　　　　　　 　･
　　　　　　　　　　 　 　　　　　･････････････････････････ C
のような図です。

そもそも定義が違うような。

sin60°＝sin120°＝(√3)/2

ですよね。その面積から求めた関係式に，sin60°＝sin120°＝2√3
を代入してみて下さい。確かに，4×AD＋6×AD＝4×6になります。

結果的にはsin60°＝sin120°であるため，ADを計算するときには関係なくなってしまいますが，∠Aが二等分されていなければ，全く違うこたえが出て来ますよ。

>1/2×4×AD×sin60°＋　1/2×6×AD×sin60°＝1/2×4×6×sin120°
(?ABDの面積 + ?ADCの面積 = ?ABCの面積)
↓
1/2×sin60°×4×AD＋　1/2×sin60°×6×AD＝1/2×sin120°×4×6
↓
1/2×sin60°×(4×AD＋6×AD)＝1/2×sin120°×(4×6)
↓
(1/2×2√3)×(4×AD＋6×AD)＝(1/2×2√3)×(4×6)
↓
4×AD＋6×AD＝4×6

ということと思います。

回答(2)さん、御指摘ありがとうございます。
見落としていました。